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高频版图布线理论基础 (二)

来源:    编辑:    发布时间:2021-02-03 06:52:19    浏览量:

上篇大家先容了高频与低频之间的界限,并先容了最常见的传输线理论。

由此引入了阻抗匹配,影响电阻的趋肤效应等概念。

接下来,大家还需要寻找构成均匀传输线模型的其他方面的材料,比如有关储能元件电感、电容的计算,电导漏电的相关材料。

当然,大家暂时还不会涉及到非均匀传输线概念的整理。

本篇重点先容阻抗匹配中最基础也是最实用的串、并联阻抗变换的概念,并以简单的集成螺旋电感模型的变换作为示范。

?本篇中可以找到的概念包括:带宽,-3dB带宽,品质因子Q ,谐振,广义谐振等。

目前主要的匹配方式有三种:串并联互换、传输线匹配和变压器变换。

一、串并联互换

?

?


图(1)

?串并联互换的基本思路就是变换后阻抗相等,这也是大家想要的结果。

因为变换首先考虑不能有能量的损耗,所以采用电抗元件,所以也称为LC阻抗变换。

其他两种方式,如变压器:输入出阻抗比为初次级电感匝数比的平方。

有一种形式的传输线匹配也是类似变压器的方式,即感应相同或相反的电流,从而达到阻抗变换的目的。

1/4 波长传输线插入也常被使用。

根据图(1)写出等式:

?Zs=Zp ==> Rs+jXs=Rp//jXp ==> 1/(Rs + jXs) = 1/Rp + 1/jXp????????????? (1)

?(Rs – jXs)/[(Rs+jXs)(Rs-jXs)] = (Rs-jXs)/(Rs^2+Xs^2) = 1/Rp + 1/jXp?????? (2)

实部与虚部分别相等,得到:

?1/Rp = Rs/(Rs^2 + Xs^2)??????????????? (3)

?1/jXp = -jXs/(Rs^2 + Xs^2)????????????? (4)

整理后得到:

?Rp = Rs(1+ Q^2)??????? ???????????????(5)

?Xp = Xs(1+ 1/Q^2)???????????????????? (6)

其中:

?Q = Rp/Xp = Xs/Rs??????????????????? (7)

如果Q>>1 , 由式5,6可得

Rp ≈ Rs * Q^2, Xp ≈ Xs??? (8)

公式5,6,7是后面演算的基础,也是最实用的等式。

而式8 只是说明了,变换后电抗几乎不变,而电阻相差Q平方倍。

这里要说明一下Q值(Qulity factor)的定义:

?Q LC = 2π* Emax_store / Eper_loss?????????? (9)

?Q ind = 2π* (Emax_L – Emax_C) / Eper_loss?? (10)

以RLC并联电路和类似模型的电感为例:Emax_store最大储能, Eper_loss为一周损耗

?Emax_store= Emax_L = Emax_C

?E max_L = V0^2/(2*ω^2*L),?? 电感储存磁场能量的最大值??? (11)

?E max_C =?V0^2*C/2,?????? 电容储存电场能量的最大值??? (12)

?E per_loss = T*V0^2/(2*R)??? 一个周期内的损耗??????????? (13)

将11-13分别代入9,10得到:

?Q LC = R* ω*C = R / ( ω*L)???????????????????? (14)

?Q ind =?R / ( ω*L) *[1 - ( ω/ ω0)^2]????????????? (15)

当电抗相互抵消,回路导纳最小或阻抗最大时,称回路为谐振。

?jω0 C+1/jω0L = 0 ==> ω0 = 1/sqrt(L*C)????????????? (16)

通过磁场与电场能量相互的概念?E max_L = E max_C ,也可以得到同样的结果。

ω0 称为谐振频率, 根据14可以写出并联网络Q值:

?Q LC =?Rp / Xp????????????????????????????????????? (17)

串联谐振网络,通过串并联对偶变换原则:L->C, C->L, G->Rs,V->I

?Q LC =?Rp / Xp = (1/G) / (1/Xc) = Xc/G => XL/Rs = Xs/Rs????? (18)

?至此,大家就得到了式(7)的等式。

不过,大家发现电感的Qind值有一些限制。

比如电感工作频率应小于谐振频率。

相等时,Q将为0; 大于时, Q将小于0,也就是呈现了电容的性质。

大家还需要注意的是,谐振回路谐振时电感与电容的电流相等,但方向相反,其值是源电流的 Q 倍,所以布线时要注意要足够宽的线。

二、电感模型部分接入阻抗变换

?
?

图(2)

?为了计算方便,令Cox=C1, Csi=C2,Rsi=R2。

其中,Ls代表螺旋电感由GeenHouse方法求得;Rs表明串联的金属电阻,受涡流效应影响;Cs表示抽头时重叠电容;Cox表示电感与衬底的寄生电容;Rsi、Csi表示衬底本身的寄生电阻与电容。

图2从左变换到右图,为一个典型的并联谐振回路。

不过直接变换时,通常要满足Rsi >> Xsi ,并通过相关讨论得到的结论进行套用。

实际的变换如图3为三个步骤。

为了方便计算,在第a到b的变换中,也作些近似。

?

?

?

?

?

?


图(3)

(a) -> (b) :

?R2?= R2s*(1+Q2^2)???????????????? (19)

?C2s = C2*(1+1/Q2^2)??????????? ????(20)

?Q2 = R2/Xc2 = Xc2s/R2s???????????? (21)

假设C2s ≈ C2,即1/Q2^2 << 1,也就是Q2^2 >> 1, 重写式19,20得到:

?? R2?= R2s*Q2^2??????????????? (22)

?? C2s = C2????????????????????? (23)

(b) -> (c) :

?Rp = R2s*(1+Q^2)???????????????? (24)

?CΣ = Cp*(1+1/Q^2)??? ????????????(25)

?Q = Rp/Xp = XcΣ/R2s????????????? (26)

?CΣ = C2*P?????????????????????? (27)

?P?= C1 / (C1+C2)??????????????? (28)

由式21得到 R2s = Xc2^2 / R2并将此式及12一同代入式24,25中,

?Rp = Xc2^2 / R2 + XcΣ^2 / R2s

???? = 1/[(ω*C2)^2*R2] + R2/ P^2

???? = 1/[(ω*C2)^2*R2] + R2 * (C1 + C2)^2 / C1^2?????????????????????? (29)

?Cp =?CΣ /(1+1/Q^2)?

Σ*Q^2 / (1 + Q^2)

???? = C

???? = CΣ* (R2*XcΣ/Xc2^2)^2 / [1+ R2*XcΣ/Xc2^2)^2]

Σ* (R2*C2*ω/P)^2] / [1 + (R2*C2*ω/P)^2]

???? = [C

???? = [CΣ* (R2*C2*ω)^2] / [P^2 + (R2*C2*ω)^2]

???? = C1*C2*(R2*C2*ω)^2*(C1+C2) / {(C1*C2)^2 + [(R2*C2*ω)*(C1+C2)]^2}

???? = C1*C2*(R2*ω)^2*(C1+C2) / {C1^2 + [(R2*ω)*(C1+C2)]^2}??????????? (30)

?值得注意的是等式中的Q值,与整个回路的Q值要加以区分。

式29将前一部分忽略,可得:

Rp = R2 / P^2 此式在直接变换中,利用变换后功率相等原则,可以迅速得到。

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图(4)

?对于设计RL与Rs匹配,要注意是串并变换,还是并串变换,这主要视电阻的大小而定。

因为串联变换成并联,电阻增加Q平方倍,所以电阻小的一方应采用串联的方式。

如图4所示,是一个L型的结构,如果源与负载均有一个L型网络就是π型,再将并联的电抗元件合并就是T型。

由L型演变过来的π型或T型,其好处就是增加Q值的变换空间,充分利用了各节点的寄生参数。

三、带宽

  上述先容的串并联变换是谐振网络的阻抗匹配技术,一般应用于窄带范围。

从频域上划分宽窄带,主要以信号带宽除以中心频率作为指标,

?不大于0.1?为窄带(NB),

?0.1-0.25?? 为宽带(WB),

?不小于0.25 为超宽带(UWB)。

?信号带宽就是大家常讲的3dB带宽(BW3dB),严格讲应该是-3dB带宽。

以并联谐振回路为例,电流源Is为常数,电压特性也同样表达了阻抗特性。

输出电压为:

  V(ω)=Is/Y=Is/(G+1/Xc+XL)=Is/[G+j(ωC-1/ωL)]

??????? =(Is/G)/[1+j(ωC/G – 1/(G*ωL))]

(ω0)/[1+jQ( ω/ ω0 -?ω0/ ω)]      (31)

??????? =V

其中Q=ω0*C/G = 1/ω0*C*G

又定义ξ为广义谐振 

  ξ=Q( ω/ ω0 -?ω0/ ω)             (32)

如果频率在中心频率附近, ω≈ω0 近似得到:

  ξ=Q*2( ω-ω0)/ω0 =?Q*2Δω/ω0??????????????????? (33)

而选频特性又可得:

(ω)/V(ω0)=1/[1+j  S=Vξ]    (34) 

代数化后得到:

  S= expt(e,-jθ) / sqrt(1^2+ξ^2)?????? (35)

??? θ= arctan ξ?????????????????????? (36)

接下来令 ξ=1,即 S=1/sqrt(2)=0.707 刚好对应-3dB,将其展开得到:

?ξ=1=Q*2*2*π*Δf/(2*π*f0) =Q*2*Δf / f0

3dB / f0即为宽窄带指标。

这里的2*Δf就是-3dB对应的带宽BW3dB,而 BW

 BW3dB=f0 /Q????????????????????? (37)

通用的等式将是:

?BWx =?BW3dB * sqrt(1/x^2 – 1)???? (38)

?显然,X最大值为1,而它也不可能小于0,所以X是介于 0-1 之间的一个值。

Q值越大选择性越好,而带宽会变窄,X取值也会接近于1。

四、结尾

?这篇中,大家讨论了最实用的串并联阻抗变换方法,也先容了带宽。

似乎大家还可以看到,通过改变中心频率或Q值,将窄带技术应用到宽带或超宽带中。

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